در تاریخ ۱۶ اکتبر سال ۱۸۴۳، یک ریاضی‌دان ایرلندی به‌نام ویلیام روآن همیلتون هنگام پیاده‌روی در کنار کانال دوبلین به یک کشف بزرگ دست یافت. او آنقدر هیجان‌زده بود که با چاقوی جیبی خود فرمول جدیدش را روی پل حک کرد. این گرافیتی یا دیوارنوشته شاید به نظر ساده بیاید، اما یکی از مهم‌ترین معادلات تاریخ ریاضیات است:
i۲ = j۲ = k۲ = ijk = -۱
به گزارش ایتنا و به نقل از لایوساینس، همیلتون با این کشف، روشی جدید برای نمایش اطلاعات ارائه کرد که تاثیر بزرگی بر دنیای ریاضی و کاربردهای فنی گذاشت.
این فرمول به مهندسان کمک کرد تا محاسبات مربوط به نیروها و چرخش‌ها در فضا را ساده‌تر کنند؛ از طراحی پل‌ها و توربین‌های بادی گرفته تا برنامه‌ریزی روبات‌ها و کاوشگرهای مریخی.
چالش چرخش اجسام در فضا
مسئله‌ای که همیلتون سعی داشت حل کند، نحوه توصیف روابط بین جهت‌ها در فضای سه‌بعدی بود. او به‌دنبال روشی بود که علاوه بر نیروها و سرعت‌ها، بتواند چرخش اجسام در این فضا را نیز به‌شکل ساده‌تری نمایش دهد.
گفتنی است اگرچه ریاضی‌دانان پیش از او توانسته بودند موقعیت یک جسم را با مختصاتی چون x، y و z نشان دهند، اما توصیف چرخش‌ها نیازمند محاسبات پیچیده بود.
همیلتون از ایده‌ای که در ریاضیات دوبعدی وجود داشت، الهام گرفت: استفاده از اعداد مختلط. این اعداد شامل دو بخش «حقیقی» و «موهومی» هستند و بخش موهومی آن‌ها بر اساس عدد i تعریف می‌شود که ریشه دوم منفی یک است.
پیش از همیلتون، چند ریاضی‌دان دیگر نشان داده بودند که یک عدد مختلط را می‌توان به صورت یک نقطه روی صفحه‌ای نمایش داد و چرخش در این صفحه به‌سادگی با ضرب کردن در i امکان‌پذیر است.
همیلتون به این ایده علاقه‌مند شد و سعی کرد راهی برای بسط آن به فضای سه‌بعدی پیدا کند.
کشف چهار‌بعدی همیلتون
همیلتون به این نتیجه رسید که برای توصیف چرخش‌های سه‌بعدی، باید از فضای چهار‌بعدی استفاده کند. او محور جدیدی به مختصات افزود که بر اساس عدد موهومی جدیدی به نام j تعریف می‌شد.
پس از ماه‌ها تلاش و محاسبات، او در نهایت به فرمولی رسید که شامل سه عدد موهومی i، j و k می‌شد و این معادله معروف را به‌دست آورد:
i۲ = j۲ = k۲ = ijk = -۱
این کشف بزرگ، به همیلتون اجازه داد تا چرخش‌های سه‌بعدی را به شکل ساده‌تری توصیف کند و نام این اعداد جدید را «کواترنیون» گذاشت. وی نشان داد که این فرمول می‌تواند برای محاسباتی مانند چرخش ماهواره‌ها یا روبات‌ها کاربرد داشته باشد.
بردارها و تحلیل‌های نوین
یکی از مهم‌ترین نتایج کشف همیلتون، معرفی مفهوم «بردار» بود. بردارها اطلاعاتی مانند مقدار و جهت را به‌طور همزمان نشان می‌دهند. به‌عنوان مثال، موقعیت یک جسم در فضا را می‌توان با یک بردار نمایش داد که از نقطه مبدأ به محل جسم کشیده شده است.
همیلتون دو روش برای ضرب بردارها تعریف کرد. یکی از این ضرب‌ها عددی به دست می‌دهد که به آن «حاصل‌ضرب نقطه‌ای» می‌گویند، و دیگری برداری جدید به دست می‌آورد که به آن «حاصل‌ضرب برداری» گفته می‌شود.
این مفاهیم همچنان در محاسبات فیزیکی و مهندسی مانند محاسبه نیروهای الکترومغناطیسی کاربرد دارند.
اهمیت بردارها در علم مدرن
حدود پنجاه سال بعد، ریاضی‌دان انگلیسی الیور هیوی‌ساید مفهوم بردارها را با استفاده از نمادهای واقعی جایگزین کرد، اما همچنان اصول و قوانین همیلتون حفظ شد.
این تغییرات باعث شد که ریاضی‌دانان بتوانند مفاهیم پیچیده‌تری را با نمادهای ساده‌تری نمایش دهند. یکی از نمونه‌های معروف، معادلات ماکسول برای میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی است.
همیلتون شاید در زمان خودش مورد پذیرش قرار نگرفته باشد، اما پشتکار او در توسعه این مفاهیم تغییرات بزرگی در علم و فناوری به وجود آورد. امروزه بردارها در بسیاری از حوزه‌ها کاربرد دارند.
